二維都卜勒效應模擬實驗計畫

實驗器材

麥克風一支
蜂鳴器一枚
圓形轉盤(建中實驗室)
筆電一台(裝好聲音處理軟體，並確保可以連上麥克風)

理論部分

整理一些會用到的物理公式、名詞等。在小論文中，我們總共做了角度對頻率的關係圖，以及頻率對時間的關係圖，我們在實驗中主要會用到的是頻率對時間的關係圖，其實最重要的還是頻率的最大值與最小值。

實驗做完以後，會結合我們小論文最後一部分:理論與模擬的比較這一個部分，結合實驗，做出更詳盡，有說服力的論述。

都卜勒效應公式

因為是做時間對上頻率的關係圖，因此我們要用的就是一般一維的都卜勒效應公式。先定義 $f’$ 為觀察者(靜止)所觀測到的頻率，$f$ 為蜂鳴器發射出來的頻率，$v$ 為聲音的波速，$v_s$ 為蜂鳴器相對於介質的移動速度。以下公式：

$f' = \frac{v}{v+v_s}\cdot f$

注意到 $v_s$ 要代入的是切線速度(到時候會用角速度換算而來)

角速度與切線速度

角速度 $\omega$ 代表的是一秒內能夠轉動的弧度多少，其單位為 $\frac{rad}{s}$ ，要注意的是弧度沒有單位!從定義可以推導出以下公式：

$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

而根據弧度的定義，我們知道 $\theta = \frac{S}{r}$ ，如果要求出切線速度 $v$ ，我們可以列出以下式子：

$v = \frac{d \, S}{d \,t}$

換句話說就是對距離作微分得到時間。其中 $S = r\cdot\theta$，代入之後得到：

$v = \frac{r\times \Delta\theta}{\Delta t} = r\cdot \omega$

有了切線速度之後，就可以直接代入都卜勒效應公式中蜂鳴器 $v_s$ 算出頻率了!

不確定度

不確定度可以分成 A 類不確定度以及 B 類不確定度，以 $u_A,u_B$ 表示。其中 A 類不確定度的公式：

B 類則是用儀器的最小刻度乘上$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，到時候看看麥克風的規格再來算一下。而有了這兩個不確定度之後，就要算組合不確定度：

$u = \sqrt{u_A^2+u_B^2}$

算不確定度都是取有效位數兩位，最佳估計值對齊不確定度的位數。寫成結果 X = 最佳估計值 ± 不確定度的形式。

實驗流程

設定轉盤轉速、蜂鳴器旋轉半徑(可以固定與觀察者的距離，因為這個距離對頻率不會有影響)
轉動旋轉圓盤，用麥克風接收頻率，並輸入軟體之後畫出f-t圖(先找出蜂鳴器在哪一個頻率區間的聲音是最大聲的)
找出每一組數據中頻率的最大值以及最小值，並與理論作比較

預期呈現方式(實驗表格)

這個表格是角速度對上蜂鳴器的旋轉半徑(公分)的圖，表格裡面的數字則是切線速度(公分/秒，可能還要做一些單位的換算之後代入公式)：

w-r	2.5	5	7.5	10
1π	2.5π	5π	7.5π	10π
2π	5π	10π	15π	20π
3π	7.5π	15π	22.5π	30π
4π	4π	20π	30π	40π

這是理論算出來的結果：

會有兩個表格分別是理論的頻率最大、最小值，以及實驗表格要填入觀察的結果(用Audacity分析)，形式大概就是長成上表這樣。

最後，我們打算固定轉動的速度(角速度)，畫出頻率對上半徑的圖形(x座標為半徑、y座標為頻率)，用兩條直線表示理論和實際測量的結果。

程式部分

程式碼連結

將之前的程式碼的數字改成符合真實狀況之後，圖畫出來的效果很糟，因為之前都是以公尺為單位，當處理到以公分為單位的細微變化時，就會跑出很糟糕的圖形。因此，我們將之前的程式碼的時間變化dt改成 $10^{-8}$，使每一次的波的位移量盡量小，才能讓結果更精準。

這是有bug一開始的醜陋圖形：

加上了一點時間延遲的處理之後，若帶入上面的數據，與公式推出來的結果誤差會在正負 $0.005$ 之間，算時蠻精準的，例如下圖：

這個是用 $10^{-7}$ 為間隔的圖形，在最大最小值跟理論有些小的差距。因此，在求最大最小值的時候，會以 $10^{-8}$ 為間隔，缺點是跑得很慢就是了，因此採用直接把初始位置設在發生頻率極值附近，比較能快速觀察。

誤差約為 $3.5\times 10^{-4}\%$ 左右。

Praat使用

使用其他音頻分析軟體
剛剛下載了Sonic Visualizer 測試看看，果然可以分析每一個時間點中，各個頻率的強度為何。我先用手機播放400HZ以及4000HZ的聲音。下圖就是400HZ的波段，可以看到在對應的頻率強度最強，其他應該就是背景雜音的部分。

這是4000HZ的圖形，但他好像沒辦法完全做到時頻圖。

不知道這個功能可不可以使用，下面的圖形中，縱軸表示的是頻率，橫軸是時間，也就是時頻圖，用不同顏色來區分聲音的大小。可以看到前半部分黃色線是明顯的400HZ，而後面有一段由好多個點構成的線段（不太明顯，可能是聲音不夠大的結果）則是4000HZ。如果要分析這些的話，那除了聲音要夠大之外，頻率變化要明顯才能看得出差別。

上網查了一下發現 Audacity 好像無法畫出時頻圖(研究很久都沒有結果)，所以找到了 Praat 這個應用程式，而經過一翻研究後的確可以畫出頻譜圖。

我們自己錄了一小段用手機播放出來的音頻，分析後的結果大概如下圖：

音檔分析結果：

經過實驗測試，未來將以麥克風收音後傳入 Audacity，匯出成音檔後傳進 Praat 後進行分析。

目前困境

[ ] 嘗試使用 Arduino 的蜂鳴器，太小聲，必須買大聲一點的蜂鳴器(出貨中)。
[ ] 跟據理論預測，頻率變化的量不太明顯，必須使用頻率較高的蜂鳴器才能讓頻率最大值最小值的差距放大，或變得更顯著。不過還是會擔心說頻率的變化會不明顯，只能等實際做做看實驗才知道。
目前打算用一個4000HZ的蜂鳴器進行實驗，希望在頻率表現上可以更加明顯(看到有大學實驗室是利用 40kHz 進行實驗，所產生的頻率變化應該會明顯許多)