Peienwu's Blog

Hello world

0%

三門問題（Monty Hall Problem）

發表於 分類於 Valine：
文章字數： 5.7k 所需閱讀時間 ≈ 5 分鐘

三門問題，或蒙提霍爾問題是一個違反直覺的條件機率問題，本文將從不同角度切入，探討不同選擇的機率大小。

問題敘述

資料來源
影片網址
在 2008 年上映的美國電影《決勝21點》中，劇中主角班 (Ben Campbell)在非線性代數的課堂上與授課教授米奇(Mickey Rosa) 有一段精彩的對話：

米奇：「假設你正參加一個遊戲節目，你有機會從三扇不同的門裡選一扇，其中一扇門後面有一輛新車，另外兩扇門後面各有一頭山羊？你要選擇哪一扇門？」

班： 「一號門。」

米奇：「好！這時節目主持人，順便一提，他知道門後的秘密，他去打開另一扇門，比方說他開了三號門，後面是一頭山羊。這時節目主持人說：「班，你想要堅持選擇一號門，還是換成二號門？」現在問題是–改變選擇(換另一扇門)是否對你有利?」

班： 「是的」

米奇：「記住！主持人知道那輛車在哪裡，你怎麼知道他不是在耍你？……」

班： 「我並不介意，因為我的答案是基於統計學，……，當一開始他讓我選一扇門時，我有 33.3% 的機率是選對的，但當他開其中一扇門時，然後又讓我選時，此刻如果我選擇換一扇門，選對的機率是 66.7%，……。」

換句話說，假設你正在參加一個游戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門後面有什麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問你：「你想選擇二號門嗎？」轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？

答案：換門贏得獎品的機率為$\frac{2}{3}$，不換門為$\frac{1}{3}$，因此應該選擇換門！

這個問題可以擴展成N門問題，也就是主持人在開了$N-2$道門以後，分析換門與不換門贏得汽車的機率。

條件機率：貝式定理

在條件機率中，以$P(A|B)$表示在B發生的條件下A發生的機率，其值：

我們還可以畫出以下樹狀圖做分析：

假設 $A$ 為得獎的情況，$A’$ 為不得獎的情況，$B$ 為換門的情況，$B’$ 為不換門的情況
如果要得獎會發生以下兩種狀況：

  1. 不換門得獎：$P(A|B’)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cong 0.33$
  2. 換門得獎：$P(A|B)=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cong 0.66$

從貝式定律可以得到，換門的機率比較高！

窮舉法（列表觀察）

我們也可以透過列表得到相同的結論，在下表中假設「選中」為參與者第一次選中的門，「開門」則是主持人打開的有山羊的門，「換門」則是剩下的那個門

這邊可能會有一個疑惑（如果沒有那不要理我XD）：
當我第一次選中有車的門時為什麼只有列一次，主持人不是可以選擇打開兩個有山羊的門其中一個，不應是兩種狀況？

只有一種是因為後面有車的門觀眾只會選到一次，不像山羊觀眾可以選兩次，並且主持人打開哪一道門實際是沒有影響，都視為同一種狀況！

新車 山羊 山羊 結果
選中 開門 換門 不換門贏
換門 選中 開門 換門贏
換門 開門 選中 換門贏

從上表可以清楚看出，換門之後贏的機會是$\frac{2}{3}$，不換門則是$\frac{1}{3}$。

直覺想法

錯誤想法-遲到法

有些人會問：當我從三道門選完之後，主持人打開了一扇門。這時候我請另外一個場外人來看現在的局面：兩扇門關閉，一扇門打開是山羊，那這時候這個局外人選中的機會不就是$\frac{1}{2}$？

這個推論其實是正確的，以一個局外人看到的情況與機率確實是$\frac{1}{2}$，但這樣的思考前提是錯誤的，因為這位局外人並沒有參與一開始三門的選擇！
條件機率有一個重要的概念，也就是一個事件的機率會隨著情境的不同（提供訊息的改變）而可能會有所改變，這就是一個很明顯的例子

幫助理解的思考方法

1990 年 9 月 9 日，瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特 (Marilyn vos Savant) 在《繽紛遊行》(Parade) 的「請問瑪麗蓮」專欄中，回答讀者提出的三門問題，沃斯‧薩萬特是金氏世界紀錄最高智商 228 的人，她認為選擇換的勝算比較大。為了說服讀者，她請大家想像有 1,000,000 扇門，她說：

你選擇 1 號門，而主持人知道門後有什麼，他總是避開有獎的那扇門，除了 777,777 號門外，把別的門都打開了。這時你會毫不猶豫地換到另一扇門，是吧?」

從N道門中選擇其中一道門中獎機率$\frac{1}{N}$，不中獎的機率為$\frac{N-1}{N}$，也就是說有$\frac{N-1}{N}$的機率汽車在另外$N-1$道門中。這時候主持人幫你一個大忙，他打開了其中沒有汽車的$N-2$道門，不就是幫助你剔除了不可能選中的情況，也就代表把$\frac{N-1}{N}$的中獎機率集中在剩下的那一扇門中！

因此可以得到結論：在$N$門問題中，假設主持人總共會打開$N-2$道門，那換門中獎的機率會是$\frac{N-1}{N}$，不換門中獎則是$\frac{1}{N}$

程式實作：以C++模擬

如果上面的東西都無法說服你，那就來寫一個程式模擬吧！寫程式最重要的就是要證明模擬是正確的，因此會印出若干組結果看看是否合理！
這個程式會亂數幫觀眾選一扇門（隨機選），與中獎的門（也是隨機選），接著主持人打開門後會剩下觀眾選的與一個還沒有被開的門

主持人打開N-2道門（剩2道門做選擇）

我們取$N=3$ 做例子（當然也可以隨意輸入），第一個3表示門的數量，接下來的100000表示模擬次數

印出前五次的模擬情況作觀察，這個程式在印出未中獎時，換門中獎的事件加一；反之，印出中獎時，不換門中獎的事件加一，模擬結果符合預期！

如果共有10道門，一樣符合預期，換門中獎機率落在$\frac{9}{10}$左右

主持人打開K道門（剩N-K道門做選擇）

如果給個變化題，主持人想說不要對觀眾那麼好，在未被觀眾選中的$N-1$ 道門中開啟K道後面有羊的門。我們知道會有$\frac{N-1}{N}$的機率會在不是觀眾選的另外$N-1$道門中，但在這$N-1$道門中因為打開了$K$道門，剩下$N-1-K$道門可以選擇，因此可以列出以下式子：

這就是換門中獎的機率！

我們可以將換門中獎的機率扣掉不換門中獎的機率：

已知$N-K\geq2$ 且$K\geq0$，因此無論開多少門（甚至不開），換門的中獎機率永不小於不換門的機率！

以上為設定9個門，主持人打開5道門，執行一百萬次的結果。
根據上面的公式，我們預期會有$\frac{8}{27}\cong 0.2963$的機率換了會中獎，符合模擬的結果

有a輛車，主持人開K道門

這就比較簡單了，原本只有1輛車，變成a輛車自然中獎的機率就會變a倍，套用上面的公式，換門中獎機率：

程式碼

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int selected_door,selected[1000000],make_change=0,keep=0,N,M,open;

int main(){
    cin>>N>>open>>M; //輸入門的數量N，主持人開門數open，模擬次數M
    srand((unsigned)time(NULL));
    for(int i=0;i<M;i++){            //執行M次
        selected_door = rand()%N;    //選擇一個門放汽車
        for(int j=0;j<N;j++){
          if(j==selected_door)selected[j]=1;
          else selected[j]=0;
        }

        int audience_selected = rand()%N; //觀眾選擇一個門

        for(int j=0,ind=0;j<open;ind++){ //將K扇門打開
          if(ind!=audience_selected && ind!=selected_door){
              selected[ind]=2;
              j++;
          }
        }

        int change_door = 0; //要換到的門
        vector<int>vec; //可以換的選擇
        vec.clear();
        for(int j=0;j<N;j++){
          if(j!=audience_selected && selected[j]!=2){
              vec.push_back(j);
          }
        }
        int vec_size = vec.size();
        change_door = vec[(rand()%vec_size)];
        if(change_door == selected_door)make_change++; //紀錄換而贏的次數
        else if(audience_selected == selected_door)keep++; //紀錄不換而贏的次數

        if(i<4){
          cout<<"第"<<i+1<<"次模擬"<<endl;
          cout<<"觀眾選擇："<<audience_selected+1<<" 號門"<<endl;
          cout<<"中獎的門為："<<selected_door+1<<" 號門"<<endl;
          cout<<"沒有被主持人打開的門：";
          for(int j=0;j<vec_size;j++)cout<<vec[j]+1<<"號門,";
          cout<<endl<<"觀眾選擇要換的門為："<<change_door+1<<" 號門"<<endl;
          if(audience_selected == selected_door)cout<<"不換門中獎"<<endl;
          else if(change_door == selected_door)cout<<"換門中獎"<<endl;
          else cout<<"換門不換門皆不會中獎"<<endl;
          cout<<endl;
        }
    }
    cout<<fixed<<setprecision(5);    //印出機率
    cout<<"不換門贏的機率："<<(double)keep/M<<endl;
    cout<<"換了門贏的機率："<<(double)make_change/M<<endl;
}

警察抓酒鬼問題

這個問題可以用來比較一下三門問題：

某酒鬼有90%的日子都會出去喝酒，喝酒只隨機去固定的三家酒吧。今天警察找了其中兩家酒吧都沒有找到酒鬼。問：酒鬼在第三家酒吧的機率？

我們假設事件$A_1$為酒鬼喝酒的機率、$A_2$為酒鬼在家的機率，$B_1$為酒鬼在前兩個酒吧被抓的機率、$B_2$為酒鬼沒有在前兩個酒吧被抓的機率

我們要找的是酒鬼沒有在前兩個酒吧被抓的條件下喝酒的機率，可以套用貝氏定理：

正解是75%，也可以顯而易見的用$\frac{30\%}{30\%+10\%}=75\%$得到答案

這題想要討論的是，在三門問題中，主持人是知道哪一些門是沒有汽車的，所以故意打開；但是在這個問題中，警察是不知道哪一個酒吧有酒鬼，兩題本身的前提就不同，不能拿來互相解釋

結論

在分析完三門問題、程式實際模擬和比較其他題目之後，得到一個結論：三門問題中主持人並不是亂選，而是把沒有車的那些門打開，這跟平常直覺的機率想法是不同的！

雖然對大多數人的直覺反應而言，選擇換門與不換門似乎中獎的機率是相同的，但經過上述一連串利用貝氏定理的討論與歸納後，證實了反而換門才是最明智的選擇。「人的認知有兩種，一是先驗的古典機率，一是經驗的機率，前者會干擾後者；鴿子只有後者，在蒙提霍爾問題上，高人一籌。人其實是聰明反被聰明誤。」(曾志朗，2012)