作者：徐上雲、peienwu
一、簡介
在許多考試中由於在出題時難度無法掌握，故常出現集體分數過低或過高的現象。當分數過低時常會以整體調整分數的方式使集體分數回歸到正常值，或使及格比例合乎預期。如今常見的調分方式有許多種，而每一種調分方式各有優缺點，對整體分數的影響力也各異。我想嘗試將常見的幾種調整分數方式進行比對，探討每一種方式的意義、使分數的分佈狀況、優缺點。
二、問題說明
今有一張試卷假設滿分為100，最低分為0分。且落在0到100中的每個分數皆有機會得到。
探討以下三種常見的調整分數的方式：
（一）線性調整y=ax+b
欲使滿分仍維持$100$，將$0$分調整為$b$分。將分數以線性關係$y=ax+b$分佈。
如若希望不論原始分數為何，調整後皆可及格，最低分$0$調整為$60$分，滿分維持$100$分。則公式為：$y=0.4x+60$。
- 求當今天設定不同最低分數值(b)時，分數調整後之狀況。
（二）將原始分數開根號後乘以10
另一種常見的調整分數分數為將原始分數開根號後乘以$10$。
- 探討為何最常見的調整分數方式為開根號乘以$10$？
- 若開立方根後乘以某數$k_3$，使滿分仍為$100$，探討調整後分數分佈狀況。
- 若開$n$次方根乘以某數$k_n$，使滿分仍為$100$，探討調整後分數分佈狀況。
- 求當開$n$次方根乘以某數$k_n$，使滿分仍為$100$時，原始分數應為何才能加到最多分？
（三）將原始分數取log後乘以一常數使滿分仍為100
- 今以底數為$n$，將原始分數取$\log_a$後乘以某數$p$，使滿分仍為$100$分。探討調整後分數分佈狀況。
三、探討方式
做以下三張圖，進行比較：
- 調整後分數：畫出原始分數及調整分數後之分數變動關係。(代號：$A$)
- 調分比率：調整後分數相較於原始分數提高了幾倍，公式＝調整後分數/原始分數。(代號：$B$)，因分母不可為$0$故不計算$0$分之調分比率。
- 多得分數：調整後分數較原始分數加了幾分，公式＝調整後分數-原始分數。(代號：$C$)
四、問題解決
（一）線性調整y=ax+b
1. 公式：$f(x)=y=ax+b, f(0)=b,f(100)=100$
2. 設定不同狀況調整後最低可得到分$(b)$
當最低分為$b=60$分，$a=0.4$，公式：$y=0.4x+60$，依此類推。
| b | 公式 |
|---|---|
| 60 | y=0.4x+60 |
| 50 | y=0.5x+50 |
| 40 | y=0.6x+40 |
| 30 | y=0.7x+30 |
| 20 | y=0.8x+20 |
| 10 | y=0.9x+10 |
3. 以原始分數1-100分，畫出圖表
（二）將原始分數開根號後乘以10
1. 公式：$y=f(x)=10\sqrt{x}$
2. 以原始分數為$1-100$分，畫出圖表
多得到分數呈現一有最大值的曲線，代表在$1-100$中有某一得分之人獲益最大，能加到最多分，比對得到之數據可發現當原始分數為$25$分時，最划算，可多得到最多分數。
3. 此情況可探討當次方根數提高後乘以某數，使滿分仍為$100$
當次方根為三次方根，需乘以某數$k_3$，使滿分仍為為$100$。
計算$k_3=\frac{100}{100^{1/3}}=100^{2/3}\approx 21.5443469$。
公式：$y=f(x)=x^{1/3}$
以原始分數為$1-100$，畫出圖表。
多得到分數呈現一有最大值的曲線，代表在$1-100$中有某一得分之人獲益最大，能加到最多分，比對得到之數據可發現當原始分數為$19$分時，最划算，可多得到最多分數。
4. 將此情形推廣到更高次方根，求出今為n次方根後，kn為何？
通式：$k_n\cdot(100^{1/n})=100,k_n=100^{\frac{n-1}{n}}$
由上圖可知k值為將無窮接近$100$。
5. 用$2-8$次方根，畫出以原始分數為$1-100$分的圖表。圖中$s$為次方根數
6. 求出不同次方根中，能得到最多分數的原始分數為何？
在二次方根中，原始分數為25，可以加到最多分。
在三次方根中，原始分數為19，可以加到最多分。
設當n次方根時，原始分數為x，可以加到最多分。
計算n與x之關係：
圖中可見，橫軸為次分根數，縱軸為最大獲益的原始分數。
三次方根時準確的值並非$19$，而是$19.245$。
以$x$的一般式計算三次方根時最大獲益的原始分數。
7. 不同的次方根與加最多分數的關係
由上述可知，當帶入$x = 100\cdot n^{\frac{-n}{n-1}}$ 會有加分的最大值。於是，我們可以將其帶入上方公式計算出不同的$n$與加最多分數的關係。
可得一個新的公式$h(x)$，代表不同的次方根對應的加分的最大值。此函數是一個單調遞增函數，函數值隨著$n$增加有遞增的情形。
（三）將原始分數取log後乘以一常數使滿分仍為100
通式：設原始分數為$x$, $y=f(x)=p\log_ax, f(100)=100, a>0$
1. 以原始分數為1-100，畫出圖表
我們發現，不論底數a值為何，得出結果均相同，因此想探討為什麼底數對所得到的曲線不會有影響，如下。
2. 以一般式描述多得到之分數，探討為何不論a值為何，得出結果均相同
發現在過程中底數a會被換底後取代，最終結果無a的影響，故不論底數a值為何，得出之曲線均相同。
3. 算出原始分數為何可以多得到分數最多
發現當原始分數約為21.7147時，可加到最多分數。
（四）最低及格分數之非線性調分
1. 次方調整計算公式
根據以上的定義，對於分數為$x$的人，調整後的分數$f(x)$滿足：
以開二次方根來計算，則考36分的人可以恰好及格。我們想要利用原始分數跟目標分數，來計算需要開幾次方。假設考$b$分的人經過調整後為$a$分（及格的話$a = 60$），所開的次方數為$n$次，帶入上方公式，分項整理過後有以下關係：
2. 以原始分數1-100畫出調整後分數圖形
下圖為$a = 60,b = 45$，$n \approx 1.563$ 調整前後分數的圖形。
3. 最低及格分數b與次方數n的關係
由第一點的公式，我們可以觀察到，要將越低的分數調整到及格，所開的次方數$n$就必須越大，函數$g(a,b)$圖形如下圖，橫軸是原始分數$b$，縱軸是分數$b$若要調整到及格（60分）所需要開的次方數$n$。一樣可以發現到，當原始分數為36分時，開2次方根就會對應的函數值。
五、結果討論
（一） 線性調分聽起來很公平，每個人都可以依照一定比例加分，但在實際做出加分比率圖後發現實際上$0-20$分之加分比率遠超過其他分數族群。對於中偏前段之高分族群極為不利。不過，若想要提升及格比率，非線性調分不失為一個十分有效的方式。
（二） 開特定次方根根後乘以一常數之結果可看出，若開$n$次方根，$n$越大能加到最多分到分數$x$隨之下降，符合公式 $x = 100\cdot n^{\frac{-n}{n-1}}$。
（三） 加最多分隨著開的次方數n增加而遞增，其最大的加分數符合公式$h(x) = 100(n^{\frac{-1}{n-1}}-n^{\frac{-n}{n-1}})$
（四） 若想要將一個分數為$b\ (b<60)$的人調整分數到及格，若分數$b$越小，所需要的次方數就必須越大，符合公式$n=\frac{2-\log b}{2-\log a}$。
（五） 經過log後乘以一常數之結果，發現不論底數為何，均不影響最終結果，因為底數可經由換底公式消除。
（六） log組中發現原分數為1者，調分後會變成0分，理應修正。使原始分數為1分之人至少不要呈現扣分的情況。
看了次方根和log兩組的曲線後趨勢變化有點相近，可以將兩張圖疊合再一起做比較。可見log組的曲線相較次方根組之變化趨勢，如下圖：
六、未來展望
之後可以做出以假設全班原始分數為常態分佈，假設在不同的平均分數下，模擬出全班調分後之結果，計算及格比率。可以作為未來進行調分的依據。調整分數者可先行設定這次考試可能之平均及希望及格比率為何後，選定一種方式進行調分。