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[題解]TIOJ 1725 Massacre at Camp Happy

TIOJ 1725 Massacre at Camp Happy

題目連結
Submission

題目敘述:
定義字串 A 和 B「k-幾乎相同」代表把字串 A 的前 k 字元搬到最後面時,與 B 恰有一個字元相異。給你兩個長度 ≤ $10^6$ 的字串 A 和 B,求所有使 A 和 B「k-幾乎相同」成立的 k 值。

這一題好特別,一樣要用 $O(n)$ 的時間求出答案,對於每一個操作將前k個字元搬到後面,只能用 $O(1)$ 算出來到底符不符合一字元相異的條件。
以兩個相等長度的字串 $A,B$ 為例,長度為 $l$,假設 $A=aabba,B = aacba$,兩者相差一個字元的情況下,必定會滿足$l = LCP(A,B)+LCP(rev(A),rev(B))+1$,其中rev函數表示reverse。

我們要做的就是在 $O(1)$ 的時間內求出LCP,因為題目的字串 $A$ 要求不同的起始位置,因此我們假設一個非常特別的字串 $B@AA$ ,其中@為任意沒出現過的字元。只要計算這一個字串的Z函數,就表示了 $A$ 和 $B$ 的最長共同前綴,需要兩個A的原因是因為模擬不同的k-位移下情形。

實作小細節
程式碼的第42行可以試著推推看逆序之後的尾巴的索引值為何。我是利用列出幾個數字之後推出來的,不過應該可以寫成比較嚴謹的數學證明!

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Z1[n+1+i]+Z2[2*n-i+1]+1 == n

時間複雜度

$O(n)$ 建立z函數,$O(n)$ 枚舉每一個起始點,總時間為 $O(n)$。

程式碼

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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
#define N 1000005
#define Orz ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
#define INF 2e18
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n,m,Z1[3*N],Z2[3*N];
char A[3*N],B[3*N];

void Z_algo(int *z,char *S){
int l = 0,r = 0;
z[0] = 0;
for(int i=1;i<m;i++){
z[i] = max(min(z[i-l],r-i),0);
while(S[i+z[i]] && S[z[i]] == S[i+z[i]]){
l = i;r = i+z[i];
z[i]++;
}
}
}

signed main(){
Orz;
cin>>n>>A>>B;
m = 3*n+1;
B[n] = '@';
//正常序列求Z value
rep(i,n+1,2*n)B[i] = A[i-n-1];
rep(i,2*n+1,3*n)B[i] = A[i-2*n-1];
Z_algo(Z1,B);
//逆序求Z value
reverse(B,B+n);reverse(B+n+1,B+m);
Z_algo(Z2,B);

vector<int> vec;
for(int i=0;i<n;i++){
if(Z1[n+1+i]+Z2[2*n-i+1]+1 == n)vec.push_back(i);
}
if(vec.size()){
cout<<"TAK"<<endl;
for(auto i:vec)cout<<i<<" ";
cout<<endl;
}
else cout<<"NIE"<<endl;

}
//[0,n-1][n,n][n+1,2n][2n+1,3n]