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[題解]NEOJ 402 最小凸多邊形

最小凸多邊形

題目連結
Submission

題目敘述
找出二維平面上n個點的凸包所圍出來的面積為何?

跟上一題類似,在找到全部在凸包上面的點後,就可以利用有向面積把凸包面積算出來,有一個公式可以計算多邊形面積,利用外積得到正負值,轉一圈後得到面積!對於多邊形的頂點 $P0,P_1,…,P{n-1},P_n=P_0$ 的面積如下:

其中最後一個點會回到起點,形成一個封閉的迴路。

以下是AC Code:

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#include <bits/stdc++.h>
#define Orz ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pdd pair<double,double>
#define int long long
#define ll long long
#define ld long double
#define N 100001
#define eps 1e-9
#define x first
#define y second

using namespace std;

struct pt{
int x,y;
bool operator < (pt b){
if(x == b.x)return y < b.y;
return x < b.x;
}
bool operator > (pt b){
if(x == b.x)return y > b.y;
return x > b.x;
}
bool operator == (pt b){
if(x-b.x<=eps && y-b.y<=eps)return true;
return false;
}
pt operator+(pt b) {return {x + b.x, y + b.y};} //向量相加
pt operator-(pt b) {return {x - b.x, y - b.y};} //向量相減
int operator^(pt b) {return x * b.y - y * b.x;} //向量外積cross
int operator*(pt b) {return x * b.x + y * b.y;} //向量內積dot
};
bool cmp(pt a, pt b){
if(a.x == b.x)return a.y < b.y;
return a.x < b.x;
}

vector<pt> p;

bool check(pt a,pt b,pt o){
int cross = (a - o)^(b - o);
return cross >= 0;
}

int n,t;

vector<pt> convex_hull(){
vector<pt> hull;
sort(p.begin(),p.end(),cmp); //首先對x進行排序
for(auto i : p){ //依序走訪,如果遇到外積<0則不在凸包上
while(hull.size() > 1 && check(i,hull[hull.size()-1],hull[hull.size()-2])){
hull.pop_back();
}
hull.push_back(i); //在凸包hull的每一點都符合外積小於0
}
int down_hull = hull.size();
hull.pop_back(); //x最大的點會在凸包上,不用做兩次先pop一次
reverse(p.begin(),p.end()); //將所有點逆序之後做一次上面的凸包
for(auto i: p){
while(hull.size() > down_hull && check(i,hull[hull.size()-1],hull[hull.size()-2])){
hull.pop_back();
}
hull.push_back(i);
}
return hull; //起點會經過兩次,剛好來算有向面積
}

signed main(){
Orz;
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
p.assign(n,{0,0});
rep(i,0,n-1)cin>>p[i].x>>p[i].y;
vector<pt> hull = convex_hull();
int area = 0,len = hull.size();
for(int i=0;i<len-1;i++)area += (hull[i]^hull[i+1]);
cout<<fixed<<setprecision(1)<<((ld)area/2)<<endl;
}
}